「まわる」には、「回る」「廻る」「巡る」がありますが
「まわり」には、「周り」「回り」があります。
1⃣「マワる」
「マワる」には、「回る」「廻る」「巡る」がありますが、「廻」は「常用漢字表」に掲げられていません（＝｢表外字｣という）ので、「回」で代用表記されます。
また、「巡」は「常用漢字表」の〈付表〉に「お巡(まわ)りさん」という熟字訓はかかげられていますが、本表の〈音訓〉欄には「めぐる」という訓しか掲げられていません(＝「表外音訓」)。
聖地や霊場を巡拝する旅によって、信仰を深め、特別の恩寵(おんちょう)にあずかろうとすることを「巡礼」（日本の四国八十八箇所・西国三十三所の札所(ふだしょ)巡りなど）、各地を興行して回ることを「巡業」といい、「巡」には「めぐる」のほか「まわる」という意味もあります。
ご質問の「お寺や神社を回る」ですが、観光のために見て「まわる」場合には「回る」。巡礼の目的で「まわる」場合には「巡る」が適切だと思います。
ただし、「常用漢字表」に従って忠実に表記すれば前者は「回る」、後者は仮名書きで「まわる」と書くことになります。
【補足】
「マワる」というとき、現在では「回る」に統一表記することになっています。
..しかし、「マワる」といっても、「目がマワる」といった「輪のように、グルグル“まわる”」という意味と、「巡察」「巡視」などの「“みまわる”」という意味があります。
「目がマワる」というときは、「廻送」「廻廊」の「廻」を当て「廻る」と書きます。「コマが廻る」「熊がオリの中を歩き廻る」「内廻り循環バス」などと使います。（「回る」も同じ意味。したがって「廻」はすべて「回」に書きかえてよい。）
「“みまわる”」の意を表すときは「巡る」。「おまわりさん、見巡りご苦労さま」「夜警がビルの中を巡る」などと使われます。（注：「おまわりさん」は「お巡りさん」からきています。）
……宇野義方・監修『漢字の使い方ものしり辞典』大和出版より
○「回」は、まるく回転するさま、または、小さい囲いの外側に大きい囲いをめぐらした象形文字で、「まわる(まわす)」「めぐる(めぐらす)」「かえる(かえす）」「たび（度数の意）」などの意味を表し、下記のような漢語として用いられます。
......回収..(起死)回生..回忌..回春..回帰..回答..回想....回顧..回診..回数..回線..回路../....転回..迂回..挽回..奪回..旋回
○「廻」は、「回」（まるく回転するさま）に「廴」（進み歩くこと）を付けた会意兼形声文字で「めぐる（めぐらす）」「かえる（かえす）」の意を表し、下記のような漢語として用いられました。
......廻天..廻状..廻航..廻船..廻廊..廻読..廻遊..廻覧....廻転..廻送..
..しかし、「廻」は「当用漢字表」（昭和21.11）に「廻」が掲げられず、「回」が使われるのが一般的になりました。
..なお、「回」は、現在では、
......恢復→回復..蛔虫→回虫..低徊→低回
などの代用字としても用いられています。≪。最新の「常用漢字表」でも「廻」は掲げられていません。下記を参照≫
【ご参考】
「同音の漢字による書きかえ」(第32回国語審議会総会報告・昭和31.7.5)
http://kokugo.bunka.go.jp/kokugo_nihongo/joho/kakuki/03/pdf/doon.pdf
廻→回
廻送→回送
蛔虫→回虫（医）
廻転→回転
恢復→回復
廻廊→回廊
「常用漢字表」(平成22.11.30・内閣告示第２号)
........【音訓】....【例】................【備考】
回......カイ........回答，転回，次回
..........エ........回向
........まわる......回る，回り，回り道
........まわす......回す，手回し
巡......ジュン......巡回，巡業，一巡
........めぐる......巡る，巡り歩く........お巡（まわ）りさん
2⃣「マワり」
「まわり」を漢字で表記すれば、「回り」「廻り」「周り」となりますが、このうち「廻り」は「常用漢字表」に掲げられていない漢字（＝表外漢字）ですので、一般に「回り」と表記されます。
..昭和23年に内閣告示された旧「当用漢字音訓表」では、「周」に「まわり」という訓が掲げられなかったし、「廻」も表外漢字であったために、新聞・雑誌・教科書などでは、周囲・周辺の意味の場合は、多くが仮名書きにされ、たまに「回り」と書かれることもありました。
..しかし、昭和48年に改定された「当用漢字音訓表」には、「周」に「まわり」という訓が追加され、昭和56年の「常用漢字表」の音訓欄でもそれが踏襲されています。
..したがって、現在では、「池の周り」「周りの人」のように、周囲・周辺の場合には「周り」と書き、その他の場合には「回り」と書くというのが一般的な書き方であると思われます。
■「常用漢字表」（平成22.11.30・内閣告示）
.......【音訓】....【例】
回......カイ......回答，転回，次回
..........エ......回向
........まわる....回る，回り，回り道
........まわす....回す，手回し
周......シュウ....周知，周囲，円周
........まわり....周り
■「異字同訓」の漢字の使い分け例（報告）(平成26.2.21/文化審議会国語分科会)
まわり
【回り】回転。身辺。円筒形の周囲。
....モーターの回りが悪い。回り舞台。時計回り。身の回り。胴回り。首回り。
【周り】周囲。周辺。
....池の周り。周りの人。周りの目が気になる。学校の周りには自然が残っている。
【補足】詳しくは、下記をご覧ください。
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○「回」は、まるく回転するさま、または小さい囲いの外側に大きい囲いをめぐらした象形文字で、「まわる(まわす)」「めぐる(めぐらす)」「かえる(かえす)」「たび(度数の意)」などの意味を表し、
....回収..(起死）回生..回忌..回春..回帰..回答..回想..回顧..回診
....回数..回線..回路../..転回..迂回..挽回..奪回..旋回
などの漢語として用いられます。
..また、「回」と同系の字に「廻」があります。「廻」は、「回」(まるく回転するさま)に「廴」(進み歩くこと)を付けた会意兼形声文字で「めぐる(めぐらす)」「かえる(かえす)」の意を表し、
....廻天..廻状..廻航..廻船..廻廊..廻読..廻遊..廻覧..廻転..廻送
などの漢語として用いられました。しかし、「当用漢字表」(昭和21.11)に掲げられなかったことから、その後は、これらの漢語にも「回」が使われることが一般的になりました。なお、「回」は現在では、
....恢復→回復..蛔虫→回虫..低徊→低回
などの代用字としても用いられています。
○「周」は、本来全部にまんべんなく行き渡ることの意から、「十分にゆきとどく」「手落ちがない」「周囲」「ぐるりと一まわりする」などの意を表し、
....周知..周密..周到..周回..周忌..周年..周囲..周旋../..一周..円周..外周
などの漢語として用いられます。
..国語としての「まわり」は、動詞の「まわる」の連用形が名詞化したもので、その点では「回」(または「廻」)を当てるのが一般的であるといえます。実際にも、
....身の回りの世話..火の回りが早い..回り持ち..回り番..
....回り灯篭..回り舞台..回り道..回りくどい..体が一回り大きい..
....地方回り..遠回り..手回り品..胴回り..ポケット回り
などの場合は、「回り(または廻り)」と書かれています。
..これに対し、「周り」は、
....見物人が画架の周りに集まる..カメラが彼の周りを旋回する
....周りに反対の声が上がる..上を3センチほど開けて周りを縫う
のように、「周囲」とか「周辺」という意味の場合に限って用いられます。
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......『言葉に関する問答集』(文化庁編集)より
