綿埃のように見えますが、これは前回答者様も仰るように「ダニ類」でしょう。
ダニは人の落とすフケや垢・皮膚の角質などを餌にし、特に湿気を含んでカビなどが出てくると大量発生します。写真の部分にゴミ袋をかけてあったのはどういう理由なのでしょうか? その中に上記のような餌になるものがあったとしか考えられないのですが･･･
このベッドはマットレス等をすべて外して骨組だけにし、カビ取り剤などでよく拭き上げ清掃して下さい。マットレスはクリーニングに出し、ベッドの下や周囲も掃除機で丹念に清掃してから利用を再開して下さい。お部屋もよく乾燥させることが大切です。

おしっこの匂いはファブリーズくらいじゃ取れないと思います。
重曹がいいらしいけど、ここは思い切って買いなおした方がいいかと。

何か原因があって粗相したと思うのでそれが解消されるまで続くかもしれません。トイレが汚い、トイレの形状や砂が気に入らないなど。
マットレス捨てるのも大変ですし、今後寝室に入れない予定でも念のために防水シーツかけといた方がいい
ですよ。
うちは防水のボックスシーツ使ってます。

製品によります。
洗える表示のあるものは、指定の方法で洗えますが、無ければ業者クリーニングです。

可能ならコインランドリーの乾燥機にかけると万全です
マットレスは買い換えるとして
布団は既にクリーニング済のようですから、カバーのみ自宅で洗い
布団は中綿ポリエステルだと思いますが、洗わずとも乾燥機に30分かけると良いですね。

うちもベッドに上に直に敷きその上にカバー（シーツ）を敷いていますよ。ベッドマット（スプリング）を汚したら掃除できませんから。

自宅避難で済む場合もあれば、
避難所生活をしないとならない場合もあるので、
両方の準備をした方が宜しいと思いますよ。

建物が無事でも周辺のガス漏れ(の可能性含め)
工場などからの有毒物の流出(風に乗るものは広範囲に渡る)
近隣からの出火
道路や他の建築物の損傷次第等で周囲一帯の封鎖などで
避難を余儀なくされるかも知れませんね。

本人や家族構成次第の話しでもあります。
エレベータが止まれば電気が復旧しても
点検後にならないと使えないかも知れませんので、
物資の運搬(特に水)は重労働なので人によっては厳しいかもです。
怪我や病気の有無次第でも避難所にお世話にならざるを得ないかもです。


>避難所で生活するための（定員オーバーの対策として）テントや寝袋なども含めて

ここからは、個人的な意見として聞いてくださいね。
定員オーバーになっている避難所に居るよりも、
他に避難所があるなら余裕のある所に行くべきかと思います。
物資の分配やトイレ事情なども比例して悪化しますので・・・。

テントや寝袋は重くて嵩張るので状況を考えた上で揃えたいです。
・最初に書いた避難する可能性はどれほどあるのか?
・設置可能かどうか?
(広い空き地があっても個人で張る事が出来ないかもです)
・季節や天候にあっているのか?
・マットレスやランタン等他の装備も必要にならないか?
・すぐに逃げる必要がある場合、
重い荷物は二次災害に巻き込まれるリスクが高くなる。
・逆に施設内に建てられる場合もある。(プライバシーが守られやすい)

などなど・・・。
この辺りを考慮したり割り切りって考えるべきかと思いますよ。


また、ある程度戸数の多い集合住宅だと、
独自の防災体制を取っているので
避難所やテントなどの物資を設けているかも知れませんが
こちらはどうなんでしょうか?

私はベッドを使っていますが、ベッド以外で選ぶとしたら２つ折りに立ち上がるスノコを買いますね。

そもそも布団をあげる理由は、昔は家が狭い(江戸時代の長屋など)ので布団を片付けないと生活するスペースがないから、床が畳なので湿気がこもるとカビて腐ってしまう、故に布団を出しっぱなしはだらしない、という感じです。

押し入れにずっと入れっぱなしだったらやはりカビると思います。
毎日出し入れすることで風が抜けてカビが発生しないのでしょうね。

現代ではベッドが入ってきて、寝室なら布団出しっぱなしでも問題視されなくなってきました。
なのでスノコなどを敷いてカビさえ防げれば出しっぱなしでもいいと思いますよ。

整体や、寝る時のマットレスも腰痛に影響したりするので、話をしてみるのはどうでしょう。

IKEAのスノコで同様の問題をいくつか見つけました。

新しい同じスノコに買い替えるか。

スノコを支える心棒を入れるか補強して
ホームセンターで丈夫な１×４の材でスノコ状に等間隔を開けて
板を張って木割れ防止ビスでビス留めするか
された方がいいと思います。

電動ドライバーは1000円くらいの電池式がお勧め。
強力なのも持っていますが、それと比べても
意外にもすごく良かったので。

１×４材はこんな感じ。丈夫な材だけど建材用なので安いです。
https://www.komeri.com/disp/CKmSfGoodsPageMain_001.jsp?GOODS_NO=132611&dispNo=001023016001
購入後に頼めば１カット10円～50円くらいで
好きな長さに切ってくれます。

寝るときに寝返りをうつようにしてください。仰向けの状態では、内臓の重みが腰に集中し、血管が圧迫されて血流が悪くなります。腰の筋繊維から、プロスタグランジンなどの炎症物質が放出されて痛みを引き起こします。
寝返りをうちやすくするために、硬いマットレスを使うのがオススメです。

お大事に...